TARTALOM
Fontosabb jelölések és rövidítések 13
Alapvető fogalmak, problémák és módszerek
Funkcionálok 17
Funkcionálok értelmezése 17
Funkcionálok szélsőértéke 18
A variációszámítás tárgya 19
A variációszámítás legegyszerűbb feladattípusa 20
A brachisztochron-probléma 20
A minimális felszínű forgásfelület problémája 22
A legegyszerűbb variációs probléma 23
A klasszikus módszerek az extremális függvények meghatározására 25
Euler módszere. Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 25
Megjegyzések Euler módszeréhez 27
Lagrange módszere. A Lagrange-féle lemma 29
A variáció klasszikus értelmezése. Az első variáció és az Euler-Langrange-féle differenciálegyenlet kapcsolata 32
A funkcionálanalízis egy módszere 34
Lienáris normált téren értelmezett funkcionál 35
A Fréchet-féle derivált. A variáció modern értelmezése 38
Alkalmazás a legegyszerűbb variációs problémára 39
Megjegyzések Fréchet módszeréhez 41
Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 43
Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet rendjének csökkentése 44
Hiányos alapfüggvények 45
Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet általános megoldásának előállítása két konkrét esetben 46
A megengedett függvényosztály megálasztása (differenciálhatósági és folytonossági feltételek) 51
A szélsőérték létezése 52
A variációszámítás néhány klasszikus problématípusa 66
Relatív erős és gyenge szélsőérték 66
Szükséges és elégséges feltételek 72
A legegyszerűbb variációs feladat néhány általánosítása 73
A fizika variációs elveiről. További variációs problémák 77
Előzetes megjegyzések a további vizsgálatokról 81
A legegyszerűbb variációs probléma szükséges és elégséges feltételei
A relatív gyenge minimum szükséges feltételei 85
A probléma megfogalmazása. A Du Bois Reymond-féle dilemma 85
Az első variáció. Az Euler-Lagrange-féle integro-differenciálegyenlet 88
Az Euler-Lagrange-féle integro differenciálegyenlet néhány következménye 92
A második variáció 95
A Legendre-féle feltétel 97
Hilbert differenciálhatósági tétele. Reguláris funkcionál 100
A Jacobi-féle elégtétel 104
Kiegészítések a Jacobi-féle feltételhez 111
A relatív gyenge minimum elégséges feltételi 117
Előzetes megjegyzések és segédtételek 117
Elégséges feltételek 123
A relatív erős minimum szükséges és elégséges feltételei 130
A Weierstrass-féle szükséges feltétel 130
A minimumelv. Egy újabb integro-differenciálegyenlet 138
A relatív erős minimum elégséges feltételei 142
A mező fogalma. Elégséges feltételek 149
Általánosabb variációs problémákra vonatkozó szükséges feltételek
Magasabb rendű (egydimenziós, nem-paraméteres, rögzített végpontú) variációs problémák 161
A probléma megfogalmazása. A Du Bois Reymond féle lemma 161
Az Euler-Poisson-féle integro-differenciálegyenlet 163
Térbeli (egydimenziós, nem-paraméteres, rögzített végpontú) variációs problémák 169
Többdimenziós variációs problémák 175
A kétdimenziós variációs probléma. A Haar-féle lemma 175
A Haar-féle szükséges feltétel 179
Paraméteres variációs problémák 185
A homogenitási feltétel 185
A térbeli paraméteres rögzített végpontú variációs probléma 189
Változó végpontú variációs problémák 197
Transzverzalitási feltételek paraméteres variációs problémára 197
Transzverzalitási feltétel nem-paraméteres variációs problémára 200
Feltételes szélsőérték-problémák 203
Egy egyszerű izoperimetrikus problématípus 203
Egy egyszerű Legrange-féle problématípus anholonom mellékfeltétel 209
Megjegyzések a variációszámítás feltételes szélsőérték-problémáival kapcsolatban 215
Függelék 220
Az extremális és a stacionárius függvények invarianciája 220
Egy egyszerű inverz probléma 228
A Hamilton-féle függvény 230
Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet kanonikus alakja 230
A Hamilton-Jacobi-féle parciális differenciálegyenlet 233
A variációszámítás direkt módszerei 235
A direkt módszerek alapgondolata 235
Ritz módszere 237
Irodalom 239
Név- és tárgymutató 241